astro.wikisort.org - Наука

Search / Calendar

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена.[1] Уравнение имеет вид

Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

где — безразмерный радиус, связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением для центральной плотности . Показатель является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

где и — давление и плотность, — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: и . Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом . Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.


Применение


В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.


Вывод уравнения



Из условия гидростатического равновесия


Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

где является функцией . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

где также является функцией . Повторное дифференцирование приводит к выражению

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на и переносим слагаемые с производными в левой части:

Делим обе части на , при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на и ,то равенство примет вид

Выполним подстановку , где

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,


Из уравнения Пуассона


Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.


Решения


Для заданного значения индекса политропы обозначим решение уравнения как . В общем случае уравнение приходится решать численно для определения . Существуют точные аналитические решения для определённых значений , в частности для . Для между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением , где .

Для данного решения профиль плотности задаётся выражением

.

Полную массу модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до .

Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния , то есть

Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид , где — постоянная Больцмана, — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:


Точные решения


В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы .


n = 0

Если , уравнение имеет вид

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

Поделим обе части на , проинтегрируем:

Граничные условия и предполагают, что постоянные интегрирования равны и . Следовательно,


n = 1

Если , уравнение можно представить в виде

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы при . Тогда , что даёт решение в виде


n = 5

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

Для получим

Дифференцируем по ξ:

После упрощения получаем

Таким образом, уравнение имеет решение

при . Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.


Численные решения


В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

Здесь представляет собой безразмерную массу, определяемую как . Соответствующими начальными условиями являются и . Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.


Гомологические переменные



Гомологически инвариантное уравнение


Известно, что если является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и является решением.[2] Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

и

После дифференцирования логарифмов данных переменных по получим выражения

и

.

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от , после чего получим выражение

являющееся уравнением первого порядка.


Топология гомологически инвариантного уравнения


Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

и

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где ) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.[3]


Литература


Horedt, Georg P. Polytropes – Applications in Astrophysics and Related Fields (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — ISBN 978-1-4020-2350-7.


Примечания


  1. Lane, Jonathan Homer  (англ.). On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment (англ.) // The American Journal of Science and Arts  (англ.) : journal. — 1870. Vol. 2. P. 57—74.
  2. Chandrasekhar, Subrahmanyan  (англ.). An introduction to the study of stellar structure (англ.). — Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1939.
  3. Horedt, Georg P. Topology of the Lane-Emden equation (англ.) // Astronomy and Astrophysics : journal. — 1987. Vol. 117, no. 1—2. P. 117—130. Bibcode: 1987A&A...177..117H.

Ссылки



На других языках


[de] Lane-Emden-Gleichung

Die astrophysikalische Lane-Emden-Gleichung beschreibt die Struktur einer selbstgravitierenden Kugel, deren Zustandsgleichung die einer polytropen Flüssigkeit ist. Ihre Lösungen beschreiben die Abhängigkeit des Drucks und der Dichte vom Radius r {\displaystyle r} und erlauben somit Rückschlüsse auf die Stabilität und Ausdehnung der Kugel. Sie ist benannt nach den Astrophysikern Jonathan Homer Lane (1819–1880) und Robert Emden (1862–1940); Lane schlug sie 1870 als mathematisches Modell zur Untersuchung der inneren Struktur der Sterne vor. Lord Kelvin und August Ritter waren an der Entwicklung dieser Gleichung ebenfalls maßgeblich beteiligt.
- [ru] Уравнение Лейна — Эмдена



Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.org внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.org - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии